Sorunuzda "En son yapılan ihale 01.01.2013 -14.01.2013 arası olup X firması almıştır. Sözleşme bitim tarihi olan 14.01.2013 tarihinde personelin X firmasından çıkışı yapılmış." belirttiğinize göre,
YÖNETMELİĞİN 'Geçiş hükmü' başlıklı "GEÇİCİ MADDE 1 – (1) Bu Yönetmeliğin yürürlüğe girdiği tarihten önce personel çalıştırılmasına dayalı hizmet alımı kapsamında istihdam edilen ve iş sözleşmesi devam eden işçilerin kıdem tazminatlarının hesabında kamu kurum veya kuruluşlarında ilk işe başladıkları tarih esas alınır.
(2) Bu Yönetmelik kapsamında tespit edilen hizmet süresine ilişkin kıdem tazminatı, 10/9/2014 tarihli ve 6552 sayılı Kanunun yürürlüğe girdiği tarihten önce iş sözleşmesi feshedilmiş olan işçilere ödenmez." hükmü kapsamına girer.
Bu bağlamda Belediyece(kıdem tazminatı) ödemede bulunulamaz. İlgilinin Yargıya gitmesi gerekir.